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【题目】已知:如图,四边形ABCD中,ADBCAD=CDE是对角线BD上一点,且EA=ECBE=BC.当∠CBE:∠BCE=_________,求证:四边形ABCD是正方形.

【答案】23,证明见解析.

【解析】

首先证得△ADE≌△CDE,由全等三角形的性质可得∠ADE=CDE,由ADBC可得∠ADE=CBD,可得∠CDB=CBD,可得BC=CD,可得AD=BC,利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形,由AD=CD可得四边形ABCD是菱形; BE=BC可得△BEC为等腰三角形,可得∠BCE=BEC,利用三角形的内角和定理可得∠CBE =45°,可得∠ABE=45°,可得∠ABC=90°,由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形.

证明:当∠CBE:∠BCE=时,四边形ABCD是正方形.

理由如下:

在△ADE与△CDE中,

∴∠ADE=CDE

ADBC

∴∠ADE=CBD

∴∠CDE=CBD

BC=CD

AD=CD

BC=AD

∴四边形ABCD为平行四边形,

AD=CD

∴四边形ABCD是菱形;

BE=BC

∴∠BCE=BEC

∵∠CBE:∠BCE=23

∴∠CBE=180×=45°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴∠ABE=45°,

∴∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形.

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