Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．

（1）求a、b满足的关系式及c的值．

（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．

（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a+1，c＝2；（2）≤a＜0；（3）存在，点P（﹣1，2）或（﹣1+，1）或（﹣1﹣，﹣），理由见解析

【解析】

（1）求出点A、B的坐标，将其代入y＝ax2+bx+c即可求解；

（2）当时，若y＝ax2+bx+c（）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x，而，即可求解；

（3）过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，则|yP﹣yQ|＝1，即可求解．

（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，

故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，

则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，

将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；

（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，

则函数对称轴x＝≥0，而b＝2a+1，

即：≥0，解得：，

故a的取值范围为：≤a＜0；

（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，

过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，

S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，

则yP﹣yQ＝1，

在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，

故：|yP﹣yQ|＝1，

设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），

即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，

解得：x＝﹣1或，

故点P（﹣1，2）或（﹣1+，1）或（﹣1﹣，﹣）．