Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①F为CD的中点；②3AM=2DE；③tan∠EAF＝；④；⑤△PMN∽△DPE，正确的结论个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

逐个结论进行判断：

①证明△ECD≌△FDA（AAS），即可得出结论F为CD的中点；

②根据△ABM和△FDM组成的沙漏模型，利用相似三角形对应线段成比例即可判断；

③在Rt△ANE中，tan∠EAF＝，在△ADE和△ADF中分别运用面积法求出AN，DN，运用勾股定理求出DE，则EN=DE-EN，据此计算判断；

④作PH⊥AF于H，通过构造直角三角形，运用相似模型和勾股定理求出PN；

⑤由PN≠DN，推出对应角不相等，即可得出结论．

①F为CD的中点；

∵ABCD是正方形

∴AB=BC=AD=CD=2，∠FDA=∠ECD=90°

∵AF⊥DE

∴∠CDE+∠AFD=90°

又∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠AFD=∠DEC

∴△ECD≌△FDA（AAS）

∴DF=CE

∵E是BC的中点

∴F是CD的中点

故结论①正确；

②3AM=2DE；

∵AB∥DC

∴

∴

由①知：AF=DE

∴3AM=2DE

故结论②正确．

③tan∠EAF＝；

由勾股定理得：

AF=DE=AE=

∵S△ADE=×2×2=××AN

∴AN=

∵S△ADF=×2×1=××DN

∴DN=

∴EN=DE-DN==

∴tan∠EAF==

故结论③正确．

④；

如图，作PH⊥AN于H

∵AD∥BE

∴

∴

∵FH∥EN

∴

∴AH=，PH=

∴NH=

由勾股定理得：

故结论④正确．

⑤△PMN∽△DPE

∵PN≠DN

∴∠MPN≠∠PDE

∴△PMN与△DPE不相似

故结论⑤错误．

所以正确结论为①②③④．

故选：D