Question

【题目】如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2），设AE=x（0＜x＜2），给出下列判断：①x=时，EF+AB＞AC；②六边形AEFCHG周长的值为定值；③六边形AEFCHG面积为定值，其中正确的是（　　）

A.①②B.①③C.②D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由折叠的性质和正方形的性质可得四边形BEPF，四边形PGDH是正方形，四边形AEPG，四边形PFCH是矩形，可得AE=PG=GD=DH=PH=FC，BE=BF=EP=PF=AG=CH，即可判断①②③．

∵折叠，

∴BE=EP，BF=PF，∠ABC=∠EPF=90°，

∵BD平分∠ABC，EF垂直平分BP，

∴BE=BF，

∴四边形BEPF是菱形，且∠EBF=90°，

∴四边形BEPF是正方形，

同理四边形PGDH是正方形，

∴∠AGP=90°，∠AEP=90°，

∴四边形AEPG是矩形，

同理四边形CFPH是矩形，

∴AE=PG=GD=DH=PH=FC，BE=BF=EP=PF=AG=CH，

当x=，则BE=，

∴EF=，

∴AB+EF=2+，

∵AB=BC=2，

∴AC=2

∴AB+EF＜AC，

故①错误；

∵六边形AEFCHG周长=AE+AG+CH+CF+EF+GH=AE+BE+CF+BF+BE+AE，

∴六边形AEFCHG周长=AB+BC+（AE+BE）=4+2是定值，

故②正确；

∵六边形AEFCHG面积=2×2﹣BE2﹣GD2=4﹣（EP2+AE2）=4﹣EG2

∴六边形AEFCHG面积不是定值，

故③错误.

故选：C．