Question

【题目】A为⊙C上一点，过点A作弦AB，取弦AB上一点P，若满足≤<1，则称P为点A关于⊙C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点A的坐标为（1，0）．

(1)当点C的坐标为（4，0）时，

①在点D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，点A关于⊙C的黄金点是 ；

②直线上存在点A关于⊙C的黄金点P，求点P的横坐标的取值范围；

(2)若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D（3,0），E（4, 1）；②≤x＜；（2）-2≤x＜3.

【解析】

（1）①如图1，根据题意画出图形，由图结合已知条件分析即可得出结论；

②根据题意画出符合要求的图形如图2所示，设直线与以（2,0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 .则易得，，由此可知，求出点P1和P2的横坐标即可得到所求答案了；

（2）由⊙C的半径为3可知点C在以点A为圆心，3为半径的圆上，由y轴上存在点A关于⊙C的黄金点可知，点C到y轴的距离不能超过3，由此画出符合题意的图3，根据图3即可求得点C的横坐标的取值范围了.

（1）①如图1，过点C作CP⊥AB于点P，

∴AP=AB，

∵AE>AP，AE<AB，

∴，

∴点E是点A关于⊙C的黄金点；

∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），点F的坐标为（7，0），

∴可得AF=6，AD=2，

∴，，

∴点D是点A关于⊙C的黄金点，点F不是点A关于⊙C的黄金点；

∴D、E、F三点中点D和点E是点A关于⊙C的黄金点；

②∵在直线中，当x=1时，y=0，

∴直线过A（1,0），且与x轴正方向夹角为30°，

如图时所示：设直线与以（2，0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 ，连接P1N，过P1作P1N⊥x轴于点E，

则∠AP1N=90°，AN=2，∠NAP1=30°，

∴AP1=AN·cos30°=，

∴AE=AP1·cos30°=，

∴OE=OA+AE=，

∴P1=，

同理可得：P2=.

∴≤x＜.

（2）如图3所示：

∵点A的坐标为（1，0），⊙C的的半径为3，且点A在⊙C上，

∴点C只能在以点A为圆心，3为半径的圆上，

又∵在y轴上存在点A关于⊙C的的黄金点，

∴⊙C和y轴有公共点，

又∵⊙C的半径为3，

∴点C只能在直线x=3和直线x=-3之间（包括两条直线上），

∴如下图所示，点C的横坐标的取值范围是-2≤x＜3.