Question

【题目】如图，在菱形中，，点分别是线段上的动点(不与端点重合)，且，与相交于点．给出如下几个结论：

①

②平分；

③若，则

④

其中正确的结论是_____________(填写所有正确结论的序号)．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据菱形的性质得到AB＝AD，推出△ABD为等边三角形，得到∠A＝∠BDF＝60，根据全等三角形的判定得到△AED≌△DFB；过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），根据全等三角形的性质得到CN＝CM，根据角平分线的定义得到CG平分∠BGD；过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），根据平行线分线段成比例定理得到BG＝6GF，再得到；推出B、C、D、G四点共圆，根据圆周角定理得到∠BGC＝∠BDC＝60，∠DGC＝∠DBC＝60，求得∠BGC＝∠DGC＝60，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），推出S四边形BCDG＝S四边形CMGN，于是得到S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．

①∵ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵AB＝BD，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠A＝∠BDF＝60，

又∵AE＝DF，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（SAS），故本选项正确；

②过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），

则△CBM≌△CDN（AAS），

∴CN＝CM，

∵CG＝CG，

∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），

∴∠DGC＝∠BGC，

∴CG平分∠BGD；故本选项正确；

③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2），

∵AF＝2FD，

∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，

∵AE＝DF，AB＝AD，

∴BE＝2AE，

∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，

∵FP∥AE，

∴PF∥BE，

∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，

即BG＝6GF，

∴

故本选项错误；

④∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60＝∠BCD，

即∠BGD＋∠BCD＝180，

∴点B、C、D、G四点共圆，

∴∠BGC＝∠BDC＝60，∠DGC＝∠DBC＝60，

∴∠BGC＝∠DGC＝60，

过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），

则△CBM≌△CDN（AAS），

∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN，

S四边形CMGN＝2S△CMG，

∵∠CGM＝60，∴∠GCM＝60

∴GM＝CG，CM＝=CG，

∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××CG×CG＝CG2，故本选项正确；

故答案为：①②④．