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【题目】自定义:在一个图形上画一条直线,若这条直线既平分该图形的面积,又平分该图形的周长,我们称这条直线为这个图形的等分积周线”.

1)如图1,已知△ABCAC≠BC,过点C能否画出△ABC的一条等分积周线?若能,说出确定的方法,若不能,请说明理由.

2)如图2,在四边形ABCD中,∠B=C=90°EF垂直平分AD,垂足为F,交BC于点E,已知AB=3BC=8CD=5.求证:直线EF为四边形ABCD等分积周线

3)如图3,在△ABC中,AB=BC=6AC=8,请你画出△ABC的一条等分积周线”EF(要求:直线EF不过△ABC的顶点,交边AC于点F,交边BC于点E,并说明EF等分积周线的理由.

【答案】1)不能,理由见解析;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

1)若直线CD平分△ABC的面积,那么SADC=SDBC,得出AC≠BC,进而得出答案;
2)根据勾股定理可得出:AB2+BE2=CE2+DC2,进而得出BE=5CE=3,进而得出周长与面积分别相等得出答案即可;
3)在AC上取一点F,使得FC=AB=6,在BC上取一点E,使得BE=2,作直线EF,则EF是△ABC的等分积周线,结合全等三角形的判定与性质得出答案.

1)不能,


理由:如答图1,若直线CD平分△ABC的面积,那么SADC=SDBC
AD=BD
AC≠BC
AD+AC≠BD+BC
∴过点C不能画出一条等分积周线
2)如答图2,连接AEDE,设BE=x
EF垂直平分AD,∴AE=DEAF=DFSAEF=SDEF


∵∠B=C=90°AB=3BC=8CD=5
RtABERtDCE中,根据勾股定理可得出:
AB2+BE2=CE2+DC2,即32+x2=8-x2+52
解得:x=5,所以BE=5CE=3
AB+BE=CE+DC
SABE=SDCE
S四边形ABEF=SABE+SAEF


S四边形DCEF=SDEF+SDCE
S四边形ABEF=S四边形DCEF
AF+AB+BE=DF+EC+DC
∴直线EF为四边形ABCD等分积周线
3)如答图3,在AC上取一点F,使得FC=AB=6,在BC上取一点E,使得BE=2
作直线EF,则EF是△ABC的等分积周线,
理由:由作图可得:AF=AC-FC=8-6=2,在CB上取一点G,使得CG=AF=2,则有AB+AF=CF+CG
AB=BC
∴∠A=C
在△ABF和△CFG中,



∴△ABF≌△CFGSAS),
SABF=SCFG
又易得BE=EG=2
SBFE=SEFG
SEFC=S四边形ABEF
AF+AB+BE=CE+CF=10
EF是△ABC的等分积周线,
若如答图4,当BM=2cmAN=6cm时,直线MN也是△ABC的等分积周线.(其实是同一条)

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