Question

18．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如$\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$；（一）
$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（二）
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1（四）
请用不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$．
（1）参照（三）式得$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$；
（2）参照（四）式得$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．

解答 解：（1）$\frac{{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}}{{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}}$=$\frac{{2（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}}{5-3}$=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$．
故答案是：$\sqrt{5}-\sqrt{3}$．

（2）$\frac{5-3}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$=$\frac{{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$=$\frac{{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$．
故答案是：$\sqrt{5}-\sqrt{3}$．

点评 考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．