Question

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△E₁B₂D₂的面积为S₁，△E₂B₃D₃的面积为S₂，…，△E_nB_n+1D_n+1的面积为S_n，则S₁=

 

，S_n=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：根据等边三角形的性质求出等边三角形的高，连接B₁B_n+1，可得B₁B_n+1为n个边长为2的等边三角形的一边所在的直线，然后根据相似三角形对应边成比例求出

E1B2

B2C1

，B₂D₂，再根据等边三角形的性质求出点E₁到B₂D₂的距离，然后利用三角形的面积公式求出S₁，依此类推求出E_nB_n+1、B_n+1D_n+1，再求出点E_n到B_n+1D_n+1的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵等边三角形的边长为2，
∴等边三角形的高为2×

3

2

=

3

，
如图，连接B₁B_n+1，则B₁B_n+1为n个边长为2的等边三角形的一边所在的直线，
∴B₁B_n+1∥AC_n，
∴△AC₁E₁∽△B₃B₂E₁，△AC₂D₂∽△B₃B₂D₂，
∴

E1B2

E1C1

=

B3B2

AC1

=

2

2

=1，

B2D2

C2D2

=

B3B2

AC2

=

2

4

=

1

2

，
∴

E1B2

B2C1

=

1

1+1

=

1

2

，B₂D₂=2×

1

1+2

=

2

3

，
∴点E₁到B₂D₂的距离=

1

2

×

3

=

3

2

，
∴S₁=

1

2

B₂D₂•

3

2

=

1

2

•

2

3

•

3

2

=

3

6

；
同理可求，点E₂到B₃D₃的距离=

1

1+2

×

3

=

3

3

，
…，
点E_n到B_n+1D_n+1的距离=

1

n+1

×

3

=

3

n+1

，
B₃D₃=2×

1

1+3

=

2

4

，
…，
B_n+1D_n+1=2×

1

1+(n+1)

=

2

n+2

，
∴S_n=

1

2

•

2

n+2

•

3

n+1

=

3

(n+1)(n+2)

．
故答案为：

3

6

；

3

(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线得到平行线从而得到相似三角形是解题的关键．