Question

13．如图1，△ACB的顶点C在等腰直角△ADE的边DE上，∠EAD=90°，∠CAE=∠DCB=∠BAD
（1）求证：AC=AB；
（2）求证：CE²+CD²=2AC²；
（3）如图2，过点C作CF⊥AE于点F，点G为BC中点，若CE=$\sqrt{2}$，∠BAD=30°，请直接写出线段FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠CAE=∠DCB，得出∠EAD=∠CAB=90°，利用三角形的外角性质得出∠ACB=∠E=45°解答即可；（2）根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△ABD，就可以得出CE=BD，∠E=∠BDA，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠CDB=90°，由勾股定理就可以得出结论；
（3）根据30°的直角三角形性质和等腰直角三角形的性质解答即可．

解答 证明：（1）∵∠CAE=∠DCB，
∴∠EAD=∠CAB=90°，
∵∠CAE=∠DCB，
∵∠ACD=∠E+∠CAE=∠DCB+∠ACB，
∴∠ACB=∠E=45°，
∴△CAB是等腰直角三角形，
∴AC=AB；
（2）∵△CAB与△EAD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠CAB=90°，∠E=∠CDA=∠ACB=45°，
EA=DA，CA=BA，CA²+BA²=CB²，
∴2AC²=CB²．∠EAD-CAD=∠CAB-∠CAD，
∴∠CAE=∠BAD
在△CEA和△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BA}\\{∠CAE=∠BAD}\\{EA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CEA≌△BDA（SAS）．
∴CE=BD，∠E=∠BDA．
∴∠BDA=45°，
∴∠BDA+∠CDA=90°，
即∠CDB=90°．
∴CD²+BD²=CB²，
∴CD²+CE²=2AC²；
（3）∵CE=BD=$\sqrt{2}$，∠BAD=30°，∠CDB=90°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∵CF⊥AE于点F，CE=$\sqrt{2}$，∠E=45°，
∴CF=1，CG=$\sqrt{2}$，
∴FG=2．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．