Question

【题目】问题背景：

图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，过点A作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°；于是==；

（1）迁移应用：

如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．求证：CD=AD+BD；

（2）拓展延伸

如图图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．若AE=5，CE=2，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF=3．

【解析】

（1）作AH⊥CD于H，易证△DAB≌△EAC，得BD=CE，由∠ADH=30°，得DH=AD，结合DH=HE，即可得到结论；

（2）作BH⊥AE于H，连接BE，易得BC=BE=BD=BA，从而得A、D、E、C四点共圆，进而得△EFC是等边三角形，可得FH=4.5，结合∠BFH=30°，即可求解．

（1）如图2中，作AH⊥CD于H．

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，

∵∠ADH=(180°-120°)÷2=30°，

∴在Rt△ADH中，DH=AD，

∵AD=AE，AH⊥DE，

∴DH=HE，

∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD；

（2）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，

∴△ABD，△BDC是等边三角形，

∴BA=BD=BC，

∵E、C关于BM对称，

∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，

∴A、D、E、C四点共圆，

∴∠ADC=∠AEC=120°，

∴∠FEC=60°，

∴△EFC是等边三角形，

∴EC=EF=2，

∵AE=5，

∴AH=HE=2.5，

∴FH=4.5，

∵在Rt△BHF中，∠BFH=30°，

∴=cos30°，

∴BF=4.5÷=3．