Question

【题目】在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】2或2或3

【解析】

根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．

∵AC=4，BC=2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，

∠ACB=90°．

分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．

∵DE⊥CB，

∴∠BED=∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°.

∵△ABD为等腰直角三角形，

∴AB=BD，∠ABD=90°，

∴∠CBA+∠DBE=90°，

∴∠CAB=∠EBD.

在△ACB与△BED中，

∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，

∴△ACB≌△BED（AAS），

∴BE=AC=4，DE=CB=2，

∴CE=6.根据勾股定理得

如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．

∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，

∴∠EAD+∠EDA=90°.

∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠CAB+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，

∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，

∴△ACB≌△DEA（AAS），

∴DE=AC=4，AE=BC=2，

∴CE=6，根据勾股定理得

如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°.

∵∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠EBD+∠DAF=90°.

∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠DBE=∠ADF.

∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，

∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.

由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.

设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，

故EC=DE=3，

则