Question

【题目】（给出定义）

若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．

（理解概念）

（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是什么命题（“真”或“假”）．

（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四边形ABCD的周长．

（实际应用）已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b交于A，B两点．

（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．

（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】【理解概念】（1）凡是矩形都是跳跃四边形是真命题；（2）四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5；【实际应用】（3），；（4）使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=，t=，t=，t=.

【解析】

理解概念：（1）由定义可直接得；

（2）分情况∠DAC=90°和∠ADC=90°两种情况讨论，可求四边形ABCD的周长；

实际应用：（3）根据点B，点C关于对称轴对称，可求点C坐标，用待定系数法可求抛物线解析式；

（4）由题意可证△ABO∽△BPQ，可证PQ⊥AB，四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，可得△BPQ∽△PQM，分∠PQM=90°或∠PMQ=90°两种情况讨论，可求t的值．

理解概念：（1）∵矩形的对角线所分的两个三角形全等

∴凡是矩形都是跳跃四边形是真命题

故答案为：凡是矩形都是跳跃四边形是真命题．

（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4

∴AC=2，BC=6

当∠CAD=90°时，

如图1：

∵四边形ABCD为“跳跃四边形”

∴△ABC∽△CAD

∴ 或

∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4

或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8

若∠ADC=90°

如图2：

∵四边形ABCD为“跳跃四边形”

∴△ABC∽△CAD

∴ 或

∴AD=，CD=3或AD=3，CD=

∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5

或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5

综上所述：四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5

实际应用：（3）∵抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点

∴顶点坐标为（0，m），对称轴为y轴，点B，点C关于对称轴对称

∴点C（2，0）

∵抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A，点B

∴

∴m=b=4，a=﹣1

∴抛物线解析式y=﹣x2+4

∵P，Q两点分别以 个单位/秒，5个单位/秒的速度

∴设运动时间为t

∴BP=t，BQ=5t

∵点A（0，4），点B（﹣2，0）

∴OA=4，OB=2

∴AB=2

∵且∠ABO=∠PBQ

∴△ABO∽△PBQ

∴∠AOB=∠BPQ=90°

∵四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形

∴△BPQ∽△PQM

∴△PQM是直角三角形

①若∠PQM=90°时，且BP与QM是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．

如图3

∵△BPQ∽△PQM

∴

∴BP=QM，PM=BQ

∴四边形BPMQ是平行四边形

∴BP∥QM

∴∠PBD=∠MQE

∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ

∴△BPD≌△MQE

∴PD=ME，BD=QE

∵PD∥AO

∴

∴

∴BD=t，PD=2

∴QE=t，ME=2t

∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2

∴M（6t﹣2，2t），且点M在抛物线上

∴2t=﹣（6t﹣2）2+4

∴t=

②若∠PQM=90°时，且BP与PQ是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．

如图4

∵△BPD∽△MQE

∴

即

∴QM=4t

∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°

∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°

∴△BPQ∽△MEQ

∴

∴ME=8t，QE=4t

∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2

∴M（9t﹣2，8t），且点M在抛物线上

∴8t=﹣（9t﹣2）2+4

∴t=

③若∠PMQ=90°，BP与MQ是对应边，过点P作PD⊥BC

如图5

∵△BPQ∽△MQP

∴∠PQB=∠MPQ

∴PM∥BC

∵MQ⊥PM

∴MQ⊥BC，且PD⊥BC

∴MQ∥PD

∴四边形PDQM是平行四边形且PD⊥BC

∴四边形PDQM是矩形

∴PD=MQ

∵BD=t，PD=2t，BQ=5t

∴QM=2t

∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2

∴M（5t﹣2，2t）且点M在抛物线上

∴2t=﹣（5t﹣2）2+4

∴t=

若若∠PMQ=90°，BP与MP是对应边，过点M作EF∥BC，过点P作PD⊥BC，延长DP交EF于F，

过点Q作EQ⊥EF于F．

如图6

∵△BPQ∽△PMQ

∴∠MQP=∠BQP

又∵PD⊥BC，PM⊥MQ

∴PD=PM=2t

∵PD=PM，PQ=PQ

∴△PDQ≌△PQM

∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t

∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC

∴DF⊥EF，EQ⊥BC

∴四边形EFDQ是矩形

∴EF=DQ=4t

∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°

∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°

∴△FMP∽△MEQ

∴

∴EQ=2FM

在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2

∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2

∴FM=t

∴EQ=t

∴M（t﹣2， t），且点M在抛物线上

∴ t=﹣（ t﹣2）2+4

∴t=

综上所述：使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t= ，t= ，t= ，t=