Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为2cm的⊙O在矩形内且与AB、AD均相切．现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；⊙O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动．已知点P与⊙O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P从A→B→C→D，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点．若点P与⊙O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；

（3）如图②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：当⊙O到达⊙O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与⊙O1恰好相切？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a+2b；（2）20cm；（3）存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）点P运动的路程等于（AB+BC+CD）的长度；（2）圆心移动的距离为2（a－4）cm，然后根据点P运动的路程等于圆心移动的距离以及点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm列出方程组从而求出a和b的长度，然后得出圆心移动的速度，从而求出圆心移动的距离；（3）设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，从而求出两个速度的比值.设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G，得出△DO1G≌△DO1H，设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，根据Rt△PCD的勾股定理求出x的值，根据△BEO1∽△BAD得出EO1和OO1的长度，然后分当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm以及当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为18cm分别进行说明，得出答案.

试题解析：（1）a+2b．

（2）∵在整个运动过程中，点P移动的距离为cm，圆心O移动的距离为cm，

由题意，得①

∵点P移动2s到达B点，即点P用2s移动了bcm，

点P继续移动3s，到达BC的中点，即点P用3s移动了cm． ∴．②

由①②解得 ∵点P移动的速度与⊙O 移动的速度相等，

∴⊙O 移动的速度为（cm/s）． ∴这5s时间内圆心O移动的距离为5×4=20（cm）．

（3）存在这种情形．

设点P移动的速度为v1cm/s，⊙O移动的速度为v2cm/s，

由题意，得．

如图，设直线OO1与AB交于点E，与CD交于点F，⊙O1与AD相切于点G．

若PD与⊙O1相切，切点为H，则O1G=O1H． 易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD． ∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP． 设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，

即，解得．

∴此时点P移动的距离为（cm）．

∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．

∴，即．

∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．

①当⊙O首次到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为14cm，∴此时点P与⊙O移动的速度比为．

∵， ∴此时PD与⊙O1不可能相切．

②当⊙O在返回途中到达⊙O1的位置时，⊙O移动的距离为2×（20-4）-14=18（cm），

∴此时点P与⊙O移动的速度比为． ∴此时PD与⊙O1恰好相切．