Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=3，AB=4，AD=12，在AD上能否找到一点P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有几个符合条件的点P？并求相应PD的长．若不能，说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：计算题

分析：由DC与AB平行，且DA垂直于AB，得到一对直角相等，设DP=x，则有PA=AD-DP=12-x，分两种情况考虑：当∠DCP=∠PAB时，△CDP∽△PAB；当∠DCP=∠ABP时，△CDP∽△BAP，利用相似得比例，求出x的值，即为DP的长．

解答：解：∵AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
设DP=x，则有PA=AD-DP=12-x，
当∠DCP=∠PAB时，△CDP∽△PAB，
此时

CD

PA

=

DP

AB

，即

3

12-x

=

x

4

，
整理得：x²-12x+12=0，
解得：x=

12± 144-48

2

=6±2

6

，
此时满足题意的P点有两个，即DP=6+2

6

或6-2

6

；
当∠DCP=∠ABP时，△CDP∽△BAP，
此时

CD

AB

=

DP

AP

，即

3

4

=

x

12-x

，
整理得：36-3x=4x，
解得：x=

36

7

，
此时满足题意P点有一个，即DP=

36

7

．
综上，满足题意的P点有三个，DP=6+2

6

或6-2

6

或

36

7

．

点评：此题考查了相似三角形的判定，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．