Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为7.5．

Answer 1

分析 首先由折叠的性质知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE的长，进而得到ED的长，再次利用勾股定理计算出EG的长，然后证明△BGF≌△DGE，继而得到GF=EG，从而得到EF的长．

解答 解：连接BD，交EF于点G，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
则△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线），
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2+}{8}^{2}}$=10，
∵BG=DG，
∴DG=$\frac{1}{2}$DB=5，
设AE=x，则DE=BE=8-x，
在Rt△ABE中：AE²+AB²=BE²，
则x²+6²=（8-x）²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
则ED=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
在Rt△EDG中：EG²+DG²=ED²，
EG=$\sqrt{E{D}^{2-}D{G}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠EGD=90°，
∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠GBF，
在△BGF和△DGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠GBF}\\{BG=DG}\\{∠DGE=∠BGF}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△DGE，
∴GF=EG=$\frac{15}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{2}$=7.5．
故答案为：7.5．

点评 本题主要考查了折叠的性质，以及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．