Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，延长BC到点E，使CE=CD，连接AE且与BD的延长线交于点F，若AE=BD，求证：BD⊥AE．

Answer 1

分析 根据HL证明Rt△BDC与Rt△AEC全等，再利用对应角的关系解答即可．

解答 证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠ACE=90°，
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BD}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL），
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC=∠ADF，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴BD⊥AE．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△BDC与Rt△AEC全等．