Question

【题目】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；

(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；直线AC的解析式为y＝x＋1；（2）；（3）E（0，1）或或.

【解析】

（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；

（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．

（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．

（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3），可得：

，

解得：，

故抛物线为y=-x2+2x+3，

设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（-1，0）、C（2，3）代入得：

，

解得：，

故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

可求出直线DN′的函数关系式为，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+1），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=-x2+2x+3

解得，x=0或x=1（舍去），

则点E的坐标为：（0，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），

∵点F在抛物线上，

∴x-1=-x2+2x+3，

解得x=或x=，

所以，y=或y=

即点E的坐标为：（，）或（，）

综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．