Question

问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=

1

3

AD，求

S四边形ABEC

S△ABC

：
尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有

EG

AF

=

 

，

S△BCE

S△ABC

=

 

，

S四边形ABEC

S△ABC

 

．
类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S_{四边形ABEC}与S_△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．
拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求

AE

AD

+

BE

BF

+

CE

CG

的值．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：问题引入：由D是BC上一点，AE=

1

3

AD，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：

S△ABE

S△ABD

=

1

3

，

S△ACE

S△ACD

=

1

3

，继而求得答案；
尝试探究：由AF⊥BC，EG⊥BC，易证得△EDG∽△ADB，然后由相似三角形的性质，求得

EG

AF

的值，再利用等底三角形的面积比等于对应高的比，即可求得

S△BCE

S△ABC

的值，继而求得

S四边形ABEC

S△ABC

的值；
类比延伸：由E为AD上的任一点，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得

S△ABE

S△ABD

=

AE

AD

，

S△ACE

S△ACD

=

AE

AD

，继而求得答案；
拓展应用：由

S△ABE+S△ACE

S△ABD+S△ACD

=

S△ABE+S△ACE

S△ABC

=

AE

AD

，同理可得

S△BCE+S△ABE

S△ABC

=

BE

BF

，

S△ACE+S△BCE

S△ABC

=

CE

CG

，继而求得答案．

解答：解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE=

1

3

AD，
∴

S△ABE

S△ABD

=

1

3

，

S△ACE

S△ACD

=

1

3

，
∴

S四边形ABEC

S△ABC

=

S△ABE+S△ACE

S△ABD+S△ACD

=

1

3

；

尝试探究：∵AE=

1

3

AD，
∴

ED

AD

=

2

3

，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△EDG∽△ADB，
∴

EG

AF

=

DE

AD

=

2

3

；
∵

S△BCE

S△ABC

=

1 2 BC•EG

1 2 BC•AF

=

EG

AF

=

2

3

，
∴

S四边形ABEC

S△ABC

=1-

2

3

=

1

3

；
故答案为：

2

3

，

2

3

，

1

3

；

类比延伸：

S四边形ABEC

S△ABC

=

AE

AD

，
∵E为AD上的一点，
∴

S△ABE

S△ABD

=

AE

AD

，

S△ACE

S△ACD

=

AE

AD

，
∴

S四边形ABEC

S△ABC

=

S△ABE+S△ACE

S△ABD+S△ACD

=

AE

AD

；

拓展应用：∵

S△ABE+S△ACE

S△ABD+S△ACD

=

S△ABE+S△ACE

S△ABC

=

AE

AD

，
同理：

S△BCE+S△ABE

S△ABC

=

BE

BF

，

S△ACE+S△BCE

S△ABC

=

CE

CG

，
∴

AE

AD

+

BE

BF

+

CE

CG

=

2(S△ABE+S△BCE+S△ACE)

S△ABC

=2．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．