Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点A（-3，0），与y轴交于点B（0，4），在第一象限内有一点P（m,n)，且满足4m+3n=12.

（1）求二次函数解析式.

（2）若以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，求点P的坐标.

（3）若点A关于y轴的对称点为点A′，点C在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90.求点C的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(,)；（3）C(-3,-5)或 (-3，)

【解析】

（1）设顶点式，将B点代入即可求；

（2）根据4m+3n=12确定点P所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P点在∠BAO的角平分线上，求两线交点坐标即为P点坐标；

（3）根据角之间的关系确定C在∠DBA的角平分线与对称轴的交点或∠ABO的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.

（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),

设二次函数解析式为y=a(x+3)2，

将B（0，4）代入得，4=9a

∴a=

∴

（2）如图

∵P（m,n)，且满足4m+3n=12

∴

∴点P在第一象限的上，

∵以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，

∴点P在∠BAO的角平分线上，

∠BAO的角平分线：y=，

∴，

∴x=,∴y=

∴P(,)

(3)C(-3,-5)或 (-3，)理由如下：

如图，A(3，0),可得直线LAB的表达式为 ，

∴P点在直线AB上，

∵∠PAO=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,

∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,

在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点,

设D点坐标为(-3,t)

则有(4-t)2+32=t2

t= ,

∴D(-3,),

作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1

∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=x+4,

∴C1的坐标为 (-3, )；

同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，

∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,

∴C2的坐标为(-3,-5).

综上所述，点C的坐标为(-3, )或(-3,-5).