Question

【题目】如图1，已知A、B、C是⊙O上的三点，AB＝AC，∠BAC＝120°．

（1）求证：⊙O的半径R＝AB；

（2）如图2，若点D是∠BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC．

①探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；

②若AB＝3，点C'与C关于AD对称，连接C'D，点E是C'D的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①CD+BD＝AD，见解析，②2π

【解析】

（1）连接OA，OB，OC，由“SSS”可证△OAB≌△OAC，可得∠BAO＝∠CAO＝60°，可证△ABO是等边三角形，可得结论；

（2）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACH，过点A作AN⊥CH于N，由旋转的性质可得BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，可证点D，点C，点H三点共线，由直角三角形的性质可求解；

（3）先确定点E的运动轨迹，利用弧长公式可求解．

证明：（1）如图1，连接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，

∴△OAB≌△OAC（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO，

又∵∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝60°＝∠OAC，

∴△ABO是等边三角形，

∴⊙O的半径R＝AB；

（2）CD+BD＝AD，

理由如下：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACH，过点A作AN⊥CH于N，

∴BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，

∵四边形ABDC是圆内接四边形，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∴∠ACD+∠ACH＝180°，

∴点D，点C，点H三点共线，

∵AD＝AH，∠DAH＝120°，AN⊥CH，

∴∠AHD＝∠ADH＝30°，HN＝DN＝DH，

∴AD＝2AN，DN＝AN，

∴HD＝AN＝AD，

∴CD+CH＝CD+BD＝AD；

（3）如图3，连接BC，过点A作AM⊥BC于M，连接CC'，CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AM⊥BC，AB＝3，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴AM＝，BM＝AM＝，

∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ADC＝∠ABC＝30°，

∴∠ADB＝∠ADC，

∴点C关于AD对称点C'在BD上，

∴CD＝C'D，

又∵∠CDC'＝60°，

∴△CDC'是等边三角形，

∵点E是C'D的中点，

∴CE⊥BD，

∴点E在以BC为直径的圆上，

当点B与点D重合时，

∵E'M＝BM＝CM，

∴∠MCE'＝∠ME'C＝30°，

∴∠BME'＝60°，

当点D与点C重合时，点E也与点C重合，

∴点E的运动路径长＝＝2π．