Question

【题目】如图，是的直径，为上一点，是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，过点的切线交射线于点．

（1）求证：．

（2）当是的中点时，

①若，试证明四边形为菱形；

②若，且，求的长度．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②9

【解析】

(1)连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可证得结论；
(2)①如图2，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得结论；
②设AC=3k，BC=4k(k＞0)，由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面积法可求PE，由勾股定理可求OP的长．

(1)连接OC，

∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，则∠OCB+∠DCF=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD=90°，则∠OBC+∠BDP=90°，
∴∠BDP=∠DCF，
∵∠BDP=∠CDF，
∴∠DCF=∠CDF，
∴FC=FD；
(2)①如图2，连接OC、OE、BE、CE，

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，

∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB=BE=CE=OC，
∴四边形BOCE是菱形；

②∵，

∴设AC=3k，BC=4k(k＞0)，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(3k)2+(4k)2=302，

解得k=6，
∴AC=18，BC=24，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH=CH=12，
∴S△OBE=OE×BH=OB×PE，即15×12=15PE，

解得：PE=12，
由勾股定理得OP=．