Question

我们知道sin30°=

1

2

，tan30°=

3

3

，sin45°=

2

2

，tan45°=1，sin60°=

3

2

，tan60°=

3

，由此可以得到什么规律，对于任意锐角α，规律成立吗？你能否用锐角三角函数的定义加以证明？

Answer 1

考点：锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值

专题：规律型

分析：根据已知条件可以得出sin²30°+sin²60°=sin²45°+sin²45°=1，tan30°•tan60°=tan45°•tan45°=1，由此得到规律：对于任意锐角α，sin²α+sin²（90°-α）=1，tanα•tan（90°-α）=1，利用锐角三角函数的定义证明即可．

解答：解：∵sin30°=

1

2

，tan30°=

3

3

，sin45°=

2

2

，tan45°=1，sin60°=

3

2

，tan60°=

3

，
∴sin²30°+sin²60°=sin²45°+sin²45°=1，tan30°•tan60°=tan45°•tan45°=1，
由此得到规律：对于任意锐角α，sin²α+sin²（90°-α）=1，tanα•tan（90°-α）=1．理由如下：
如图，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A=α，则∠B=90°-α．
由勾股定理，得a²+b²=c²，
∵sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，tanA=

a

b

，tanB=

b

a

，
∴sin²α+sin²（90°-α）=sin²A+sin²B=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
tanα•tan（90°-α）=tanA•tanB=

a

b

×

b

a

=1．

点评：本题考查了锐角三角函数的定义，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边：斜边=b：c．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边：∠A的邻边=a：b．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．