Question

如图1，⊙O中，AB为直径，AC为弦，过A作直线DA，使∠DAC=∠B．
（1）求证：DA是⊙O的切线；
（2）如图2，若“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”，其他条件不变，证明：DA是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）直接证明∠DAB=90°，即可解决问题．
（2）如图2，类比（1）中的证明方法，作辅助线，运用圆周角定理的推论证明∠DAE=90°，即可解决问题．

解答：证明：如图1，（1）∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAC=∠B+∠BAC；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，∠B+∠BAC=90°；
∴∠DAC+∠BAC=90°，
即∠DAB=90°，
∴DA是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE；
则∠CAE=∠CBE；
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°；
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠EAC=∠B+∠CBE=90°，
即∠DAE=90°，
∴DA是⊙O的切线．

点评：该命题主要考查了切线的判定问题；解题的关键是根据题意结合图形，正确选用证明方法；对于该命题来说应运用切线的判定定理来完成证明．