Question

如图，AB⊥AC，AB=AC=2，过点B作直线l⊥AB，点P是直线l上点B左侧的一个动点，联结PC交AB于点E，过点C作CD⊥PC交直线l于点D．
（1）若PB=1，求PD的长；
（2）在点P移动过程中，△BDE是否与△ACE相似？PD为何值时，△BDE∽△ACE？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证△PBE∽△PCD和△PBE∽△CAE即可求得BE的长度，即可解题；
（2）根据△BDE∽△ACE可以求得

BD

BE

=

BP

BE

，根据斜边中线等于斜边的一半即可解题．

解答：解：（1）∵AB⊥PD，CD⊥CP，
∴△PBE∽△PCD，∴

PB

PC

=

PE

PD

．
∵PD⊥AB，AC⊥AB，
∴PD∥AC，
∴△PBE∽△CAE，
∴

PB

AC

=

BE

AE

=

1

2

，
∴BE=

2

3

，∴PE=

BE2+BP2

=

13

3

，
PC=3PE=

13

，
解得PD=

13

3

；
（2）∵△BDE∽△ACE，
∴

AC

BD

=

AE

BE

，
又∵△PBE∽△CAE，
∴

BP

BE

=

AC

AE

，整理得：

BD

BE

=

BP

BE

．
∴BP=BD，
∴B为PD中点，PD为RT△CDP斜边，
∴PD=2BD=2BC=2

2

×2=4

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了直角三角形中斜边中线等于斜边长一半的性质．