Question

【题目】请阅读下列材料：

问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．

小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求．

请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；

（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；

（3）请结合图形，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）5；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；

（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；

（3）设AC=1，CP=m﹣3，得到AP=，设BD=2，DP=9﹣m，得到BP=，于是得到的最小值即为A′B的长，如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，

∴PA=，

∴PA′=PA=，

∵AA′∥BD，

∴∠A′=∠B，

∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，

∴=，

∴=，

∴PB=2，

∴AP+PB=+2=3；

故答案为3；

（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，

则四边形A′EDC是矩形，

∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，

∵BD=4﹣AC，

∴BD+AC=BD+DE=4，

即BE=4，

在RT△A′BE中，A′B==5，

∴AP+BP=5，

故答案为5；

（3）设AC=1，CP=m﹣3，

∵A A′⊥L于点C，

∴AP=，

设BD=2，DP=9﹣m，

∵BD⊥L于点D，

∴BP=，

∴的最小值即为A′B的长．

即：A′B=的最小值．

如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．

∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，

∴A′B=的最小值

=

=

=，

∴的最小值为．