Question

17．化分式$\frac{{x}^{4}+2{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$为部分分式之和．

Answer 1

分析 将分式$\frac{{x}^{4}+2{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$变形为$\frac{{x}^{4}+3{x}^{3}+2{x}^{2}-{x}^{3}-3{x}^{2}-2x+{x}^{2}+3x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$，再逆用分式的加减法计算即可求解．

解答 解：$\frac{{x}^{4}+2{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$
=$\frac{{x}^{4}+3{x}^{3}+2{x}^{2}-{x}^{3}-3{x}^{2}-2x+{x}^{2}+3x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$
=x-1+$\frac{x}{{x}^{2}+3x+2}$+$\frac{3}{{x}^{2}+3x+2}$+$\frac{1}{{x}^{3}+3x+2}$．

点评 此题考查了分式的加减法，关键是将分式$\frac{{x}^{4}+2{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$变形为$\frac{{x}^{4}+3{x}^{3}+2{x}^{2}-{x}^{3}-3{x}^{2}-2x+{x}^{2}+3x+1}{{x}^{3}+3{x}^{2}+2x}$．