Question

如图，正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，BM=BN，连接MC，作BP⊥MC垂足为P，连接PN，PD．求证：PN⊥PD．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：证明题

分析：利用等角的余角相等得出∠MBP=∠BCM，从而证得△PBM∽△PCB，得出

PB

BM

=

PC

BC

，根据BM=BN，BC=DC，得出

PB

BN

=

PC

CD

，根据同角的余角相等得出∠PCD=∠PBN．进而证得△PBN∽△PCD．得出∠DPC=∠BPN．即可证得PN⊥PD．

解答：解：∵BP⊥MC，∠B=90°
∴∠PBC+∠PBM=90°，
又∵∠PBM+∠PMB=90°，
∴∠PBC=∠PMB．
∴△PBM∽△PCB，
∴

PB

BM

=

PC

BC

，
∵BM=BN，BC=DC，
∴

PB

BN

=

PC

CD

，
∵∠PCD+∠PCB=90°，∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PCD=∠PBN．
∴△PBN∽△PCD．
∴∠DPC=∠BPN．
又∵BP⊥MC，
∴∠BPN+∠CPN=90°
∴∠DPC+∠CPN=90°，
即∠DPN=90°
∴PN⊥PD．

点评：本题考查相似三角形的判定及性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．