Question

【题目】设a，b是任意两个不等实数，我们规定满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4．当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”

（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．

（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；

（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）k的值是﹣2；（3）y＝﹣x+m+n．

【解析】

（1）根据反比例函数的单调区间进行判断；

（2）由于二次函数y=x2-2x-k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2-2x-k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=-2．当x=2时，y=2，所以k=-2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=-2．

（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答．

解：（1）反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，

理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1，

∴反比例函数是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；

（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，

∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，

∴当x＝1时，12﹣2×1﹣k＝1，得k＝﹣2，

即k的值是﹣2；

（3）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，

∴当k＞0时，，

得，

即此函数的解析式为y＝x；

当k＜0时，，

得，

即此函数的解析式为y＝﹣x+m+n．