Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．

（1）b＝　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；

（2）求直线AD的解析式；

（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y＝x﹣1；（3）Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．

【解析】

（1）将点A的坐标代入函数解析式求得b的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；

（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D的坐标，利用点A、D的坐标来求直线AD解析式；

（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，易得AB＝4．结合三角形面积公式求得S△ABD＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝﹣m2﹣m+2．利用分割法得到：S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．根据已知条件列出方程（﹣m2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m的值，即可求得点Q的坐标．

解：（1）把A（1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得12+b﹣3＝0．

解得b＝2．

故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．

故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．

故答案是：2；（﹣1，﹣4）．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．

当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，

∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．

设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．

把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得．

解得．

∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；

（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，

解得x1＝1，x2＝﹣3，

∴B（﹣3，0），

∴AB＝4．

∴S△ABD＝×4×3＝6．

设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．

则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．

∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝PQ（1﹣m）+PQ（m+2）＝PQ＝（﹣m2﹣m+2）．

当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，（﹣m2﹣m+2）＝3．

解得m1＝0，m2＝﹣1．

∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．