【题目】将一块直角三角板放置在锐角
上,使得该三角板的两条直角边
恰好分别经过点
(1)如图①,若时,点
在
内,则
度,
____度,
度;
(2)如图②,改变直角三角板的位置,使点
在
内,请探究
与
之间存在怎样的数量关系,并验证你的结论;
(3)如图③,改变直角三角板的位置,使点
在
外,且在
边的左侧,直接写出
三者之间存在的数量关系.
【答案】(1)135;90;45;(2)∠ABD+∠ACD=90°-∠A,证明见解析;(3)∠ACD-∠ABD=90°-∠A
【解析】
(1)在△BCD中,根据三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB =90°,在△ABC中,根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=135°,进而可求出∠ABD+∠ACD的度数;
(2)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠DBC+∠DCB=90°,
整理可得∠ABD+∠ACD=90°-∠A;
(3)根据三角形内角和定理可得∠ACD+∠A+∠AMC=180°,∠ABD+∠D+∠BMD=180°,整理可得∠ACD-∠ABD=90°-∠A.
解:(1)在△ABC中,∵∠A=45°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°,
在△DBC中,∵∠BDC=90°,
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°,
∴∠ABD+∠ACD=135°-90°=45°;
故答案为:135;90;45.
(2)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为:∠ABD+∠ACD=90°-∠A.证明如下:
在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
在△DBC中,∠DBC+∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=180°-∠A-90°.
∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A.
(3)∠ACD-∠ABD=90°-∠A.
如图③,设AB交CD于点M,
∵∠ACD+∠A+∠AMC=180°,∠ABD+∠D+∠BMD=180°,∠AMC=∠BMD,
∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF=( )
A.4
B.5
C.4
D.6
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【题目】如图,A,B,C,D为矩形的四个顶点,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以3 cm/s的速度向点B移动,点Q以2 cm/s的速度向点D移动.当点P运动到点B停止时,点Q也随之停止运动.问几秒时点P和点Q的距离是10 cm?
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D,E,F是垂足,且AB=5,BC=4,AC=3,则点O到三边AB,AC,BC的距离分别是( )
A. 1,1,1 B. 2,2,2 C. 1,1.5,2 D. 无法确定
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正确的是__________________.(填所有正确说法的序号)
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【题目】初二年级教师对试卷讲评课中学生参与情况进行调查,调查项目分为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.调查组随机抽取了若干名初中学生的参与情况,绘制了如图所示的扇形统计图和条形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为______度;
(2)请将频数分布直方图补充完整;
(3)如果全市有6000名初三学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的初二学生约有多少人?
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【题目】完成下面的证明:
如图,已知∠1、∠2互为补角,且∠3=∠B,
求证:∠AED=∠ACB.
证明:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°
∴∠1=∠4 (______)
∴AB∥EF(_______)
∴∠3=______(______)
又∠3=∠B
∴∠B=_______(_______)
∴DE∥BC (________)
∴∠AED=∠ACB (_______)
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【题目】在△ABC中,∠C>∠B.如图①,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC.
(1)如图①,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,能猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系是什么?并说明理由.
(2)如图②,AE平分∠BAC,F为AE上的一点,且FD⊥BC于点D,这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系?请说明理由.
(3)如图③,AE平分∠BAC,F为AE延长线上的一点,FD⊥BC于点D,请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论,不必说明理由).
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