Question

4．问题探究：
在直线y=$\frac{1}{2}$x+3上取点A（2，4）、B，使∠AOB=90°，求点B的坐标．
小明同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：
将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OC，则点C的坐标为：（-4，2）
所以，直线OC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x
点B为直线AB与直线OC的交点，所以，点B的坐标为：（-3，$\frac{3}{2}$）
问题应用：
已知抛物线y=-$\frac{1}{9}{x^2}+\frac{2}{9}mx-\frac{1}{9}{m^2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{3}$的顶点P在一条定直线l上运动．
（1）求直线l的解析式；
（2）抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ=90°时，求m的值．

Answer 1

分析 根据旋转的性质，可得OA与OC的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得OC的解析式，根据联立AB与OC，可得方程组，根据解方程组，可得B点坐标；
（1）根据配方法，可得P点坐标，根据P点横坐标与纵坐标的关系，可得直线l的解析式；
（2）根据联立抛物线与直线l，可得方程组，根据解方程组，可得P，Q点的坐标，根据旋转的性质，可得K点坐标，根据待定系数法，可得OK的解析式，根据联立OK与直线l，可得方程组，根据解方程组，可得m的值．

解答 解：如图1，
将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OC，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠COE}\\{∠ADO=∠CEO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
△OAD≌△OCD（AAS），
CE=AD=2，OE=OD=4，
点C的坐标为：（-4，2 ）；  
直线OC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x；
联立OC与AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
点B的坐标为：（-3，$\frac{3}{2}$）；
故答案为：（-4，2），（-3，$\frac{3}{2}$）．
（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{9}$mx-$\frac{1}{9}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{9}$（x²-2mx+m²）+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{9}$ （x-m）²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$．
所以，顶点P的坐标为（m，$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$），
∴点P在直线y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$上运动．
即直线l的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$  ①．
（2）因为，点P，Q为直线l与抛物线的交点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{1}{9}（x-m）^{2}+\frac{1}{3}m+\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
加减消元，得
$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$=-$\frac{1}{9}$ （x-m）²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$．
解之，得，x₁=m，x₂=m-3．
所以，P的坐标为（m，$\frac{1}{3}$m+$\frac{5}{3}$），Q的坐标为（m-3，$\frac{m+2}{3}$）．
将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到OK，得
点K的坐标为：（-$\frac{1}{3}$m-$\frac{5}{3}$，m）；
所以，直线OK的解析式为：y=-$\frac{3m}{m+5}$x  ②；  
因为当∠POQ=90°时，点Q在直线OK上．
联立①②，得
$\frac{1}{3}$（m+2）=-$\frac{3m}{m+5}$（m-3）．
解得m=1．
抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ=90°时，m的值是1．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用线段旋转的性质得出OC=OA是解题关键，又利用全等三角形的性质得出C点坐标，再利用解方程得出B点坐标；利用配方法得出顶点坐标所在直线是解题关键．