Question

9．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=$\frac{1}{3}$，求sin2α的值．
小娟是这样给小芸讲解的：
如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°．设∠BAC=α，则sinα=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=$2\sqrt{2}$x．作CD⊥AB于D，求出CD=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$（用含x的式子表示），可求得sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 【问题学习】
利用面积法可求出CD=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，然后在Rt△OCD中，利用正弦的定义可求出sin2α的值；
【问题解决】
如图2，作直径NQ，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NQ于点R，利用圆周角定理得到∠NMQ=90°，∠Q=∠P=β，∠MON=2∠Q=2β，再在Rt△QMN中，根据正弦定义得到sinQ=sinβ=$\frac{MN}{QN}$=$\frac{3}{5}$，于是可设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}$k，则根据勾股定理可计算出MQ=4k，接着利用面积法可计算出MR=$\frac{12}{5}$k，然后在Rt△MRO中，利用正弦的定义求出sin∠MON的值即可．

解答 【问题学习】
解：∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}x•x}{3x}$=$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，
在Rt△OCD中，sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}x}{3}}{\frac{3x}{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
故答案为$\frac{2\sqrt{2}x}{3}$，$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
【问题解决】
解：如图2，作直径NQ，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NQ于点R，
∵MQ为直径，
∴∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，
∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，
∵sinQ=sinβ=$\frac{MN}{QN}$=$\frac{3}{5}$，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=$\frac{1}{2}$NQ=$\frac{5}{2}$k，
∴MQ=$\sqrt{Q{N}^{2}-M{N}^{2}}$=4k，
∵$\frac{1}{2}$MR•NQ=$\frac{1}{2}$QM•MN，
∴MR=$\frac{4k•3k}{5k}$=$\frac{12}{5}$k，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=$\frac{MR}{OM}$=$\frac{\frac{12}{5}k}{\frac{5}{2}k}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；会利用代数法转化线段的比．