Question

1．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=$\frac{1}{2}$CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．
（2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出?ABCD的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB平行且等于CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△CEB}}$=（$\frac{DE}{CE}$）²=$\frac{1}{9}$，$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DE}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，
∵S_△DEF=2，
∴S_△CEB=18，S_△ABF=8，
∴S_{四边形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=16，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_△ABF=16+8=24．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．