Question

10．如图，直角坐标系中A（1，0），B（0，2），∠BCA=90°，BC=AC，求C点的坐标．

Answer 1

分析 过C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，利用AAS证明△CBD与△CAE全等，再利用勾股定理进行解答求得BC=AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，根据S_{正方形DOEC}=S_{四边形ACBO}=S_△AOB+S_△ACB=$\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{9}{4}$，求得CD=CE=$\frac{3}{2}$，即可得到结论．

解答 解：过C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，
则∠BDC=∠AEC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠BCD=∠ACE=90°-∠DCA，
在△BDC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ACE}\\{∠BDC=∠AEC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AEC，
∴DC=CE，
∴四边形DOEC是正方形，
∵BC²+AC²=AB²=OB²+OA²=2²+1²=5，
∴BC=AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴S_{正方形DOEC}=S_{四边形ACBO}=S_△AOB+S_△ACB=$\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴CD=CE=$\frac{3}{2}$，
∴C点的坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，坐标与图形的性质，本题中求证△ACE≌△CDB是解题的关键．