Question

【题目】（定义）数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．

（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．

如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．

（应用）

(1)在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______；

(2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．

Answer 1

【答案】【定义】见解析；【应用】(1)84°或103.5°或124°或117°或126°；(2)画图见解析；∠B＝42°或18°.

【解析】

【定义】

如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可；
【应用】（1）①如图③当∠B=42°，AD为“好线”，②如图④当∠B=42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC=42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B=42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B=42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．

解：(定义)如图①，如图②所示，

（应用）

(1)①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，

则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；

②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，

则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；

③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，

则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，

④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，

则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，

⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，

则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，

综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，

故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；

(2)设∠B＝x°，

①当AD＝DE时，如图1(a)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠DAE＝2x°，

∴27×2+2x+x＝180，

∴x＝42，

∴∠B＝42°；

②当AD＝AE时，如图1(b)，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD＝27°，

∵DE＝EB，

∴∠B＝∠EDB＝x°

∴∠AED＝∠ADE＝2x°，

∴2x+x＝27+27，

∴x＝18，

∴∠B＝18°．

③当EA＝DE时，

∵90﹣x+27+27+x＝180，

∴x不存在，应舍去．

综合上述：满足条件的x＝42°或18°．