Question

如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是

AB

上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；
（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF²+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据垂径定理，可得BD的长度，根据勾股定理，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得AB的长度，根据三角形的中位线，可得答案，根据垂径定理，可得圆心角相等，根据角的和差，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得DF²，根据二次函数的最值，可得DF的长度，根据等腰直角三角形的性质，可得OD的长度，根据正弦的含义，可得答案．

解答：解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

．
又∵OB=2，
∴OD=

OB2-BD2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

；
（2）存在，DE的长度是不变的．
如图1，连结AB，
则AB=

OB2+OA2

=2

2

，
∵点D、点E分别是BC、AC的中点，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
存在，∠DOE的度数是不变的．
如图2，连结OC，
可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠AOB=90°
∴∠2+∠3=45°即∠DOE=45°；

（3）如图3，设EF=x，由（2）可知DE=

2

在Rt△DFE中，DF²=DE²-EF²=2-x²
∴DF ²+EF=-x²+x+2
∴当x=

1

2

，即EF=

1

2

时，DF ²+EF取得最大值，
此时，DF=

7

2

由（2）可知∠DOE=45°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=

14

2

在Rt△BOD中，BD=

OB2-OD2

=

22-( 14 2 )2

=

2

2

∴sin∠BOD=

BD

OB

=

2 2

2

=

2

4

．

点评：本题考查了圆的综合题，熟练应用利用垂径定理，勾股定理，三角形的中位线的性质是解题关键．