Question

如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA，交AB于点P，且PC=BC．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠A=

1

3

，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质求得∠OBP+∠CBP=90°，则BC是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数定义，可设OP=x，则OA=3x．在Rt△OBC中，由勾股定理列出关于x的方程（x+8）²=（3x）²+8²，通过解该方程可以求得x=2，则OA=3x=6．

解答：解：（1）相切．理由如下：
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA．
∵CP=BP，
∴∠CBP=∠BPC．
∵∠OPA=∠BPC，∠A+∠OPA=90°，
∴∠OBP+∠CBP=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵tanA=

OP

OA

=

1

3

，
∴设OP=x，则OA=3x．
在Rt△OBC中，（x+8）²=（3x）²+8²，
解得 x=2，则OA=6，
∴⊙O的半径是6．

点评：本题综合考查了圆的切线，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的运用，知道圆的切线，连接圆心和切点，题目综合性比较强，通过做此题培养了学生综合运用定理进行推理和计算的能力．