Question

已知菱形ABCD，∠ABC=60°，O为AC边的中点，E为线段AC上一点（不与A、O、C点重合）．
（1）如图1，当E点在线段AC上时，F点在边AD上，DF=CE，射线BE与CF交于M，连接AM，求证：MA平分∠EMF；
（2）当点E在线段AC上时，G点为E点关于O点的对称点，延长BE到P使EP=BE，点N为边AD上一点，并且满足AN=AC-EG，请你判断直线PN与直线AB的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）求出AF=AE，再利用“边角边”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ACF，然后求出△ABE和△CME相似，根据相似三角形对应角相等可得∠CME=∠BAE=60°，相似三角形对应边成比例可得

AE

ME

=

BE

CE

，再求出△AEM和△BEC相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AME=∠ACB=60°，再求出∠AMF=60°，然后根据角平分线的定义解答；
（2）连接NE并延长与AB相交于点F，根据对称性可得AE=CG，然后求出AN=2AE，再求出∠AEN=90°，根据菱形的对称性可得EN=EF，再利用“边角边”证明△BEF和△PEN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BFE=∠PNE，再根据内错角相等，两直线平行证明即可．

解答：（1）证明：∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
又∵菱形的边AB=AD，DF=CE，
∴AD-AF=AC-CE，
即AF=AE，
在△ABE和△ACF中，

AB=AC ∠BAE=∠CAF=60° AF=AE

，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠AEB=∠CEM，
∴△ABE∽△CME，
∴∠CME=∠BAE=60°，

AE

ME

=

BE

CE

，
又∵∠AEM=∠BEC，
∴△AEM∽△BEC，
∴∠AME=∠ACB=60°，
∴∠AMF=180°-∠AME-∠CME=180°-60°-60°=60°，
∴∠AMF=∠AME，
∴MA平分∠EMF；

（2）解：PN∥AB．
理由如下：如图，连接NE并延长与AB相交于点F，
由菱形的对称性得，AE=CG，
∵AN=AC-EG，
∴AN=2AE，
∵∠CAD=∠ACB=60°，
∴∠ANE=30°，∠AEN=90°，
由菱形的对称性得EN=EF，
在△BEF和△PEN中，

EP=BE ∠BEF=∠PEN EN=EF

，
∴△BEF≌△PEN（SAS），
∴∠BFE=∠PNE，
∴PN∥AB．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，（1）求出相似三角形然后根据角的度数相等求解是解题的关键，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．