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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+aa>0)分别与x 轴、y 轴交于AB 两点,CD 的坐标分别为 C(0b)、D(2aba)(ba

(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;

(2)若点CD关于直线AB的对称点分别为C′、D

①当b=3时,试问:是否存在满足条件的a,使得BCD面积为

②当点C恰好落在x轴上时,试求a b的函数表达式.

【答案】(1)四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)①不存在满足条件的a,使得BC'D'的面积为a b的函数表达式a=b(b>0)

【解析】

1)先利用坐标轴上点的特点确定出点AB坐标,进而得出BCba,再利用点AD坐标的得出ADbaBC,另为利用AD点的坐标特点得出ADBC即可得出结论;

2利用对称性和(1)中得出的四边形ABCD是平行四边形,即可得出SBC'D'SBCD,根据三角形的面积公式得出SBC'D'a3a),建立方程,判断出此方程无解,即可得出不存在满足条件的a,使得△BCD′面积为

利用同角的余角相等得出,∠CC'O=∠ABO进而得出∠△CC'O∽△ABO,得出C'O,最后用勾股定理即可得出结论.

1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:

∵直线yx+aa0)分别与x 轴、y 轴交于AB 两点,∴A2a0),B0a).

C0b)、(ba),∴BCba

D2aba),∴ADbaBC

A2a0),D2aba),∴ADBC,∴四边形ABCD是平行四边形.

2不存在满足条件的a,使得△BC'D'的面积为,理由如下:

如图1,连接BDBD',过点DDEy轴于E,∴DEOA2a

∵点CD关于直线AB的对称点分别为C′、D′,∴S平行四边形ABC'D'S平行四边形ABCD

DBBD'分别是平行四边形ABCDABC'D的对角线,∴SBC'D'SBCDBCDEba2aaba).

b3,∴SBC'D'a3a),假设存在存在满足条件的a,使得△BCD′面积为,∴a3a,∴2a26a+5=/span>0,而△=364×2×5=﹣40,∴此方程无解,假设错误,∴不存在满足条件的a,使得△BC'D'的面积为

如图2,连接CC',则直线AB垂直平分线CC',∴∠CC'O+C'AB90°.

∵∠C'AB+ABO90°,∴∠CC'O=∠ABO

∵∠COC'=∠AOB90°,∴△CC'O∽△ABO,∴,∴,∴C'O,由轴对称的性质得:BC'BCba.在RtBC'O中,OB2+C'O2C'B2,∴a2+2=(ba2,∴3b28abb3b8a)=0

ba0,∴3b8a0,∴,∴a b的函数表达式abb0).

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