【题目】在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+a(a>0)分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点,C、D 的坐标分别为 C(0,b)、D(2a,b﹣a)(b>a).
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′.
①当b=3时,试问:是否存在满足条件的a,使得△BC′D′面积为?
②当点C′恰好落在x轴上时,试求a 与b的函数表达式.
【答案】(1)四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)①不存在满足条件的a,使得△BC'D'的面积为;②a 与b的函数表达式a=b(b>0)
【解析】
(1)先利用坐标轴上点的特点确定出点A,B坐标,进而得出BC=b﹣a,再利用点A,D坐标的得出AD=b﹣a=BC,另为利用A,D点的坐标特点得出AD∥BC即可得出结论;
(2)①利用对称性和(1)中得出的四边形ABCD是平行四边形,即可得出S△BC'D'=S△BCD,根据三角形的面积公式得出S△BC'D'=a(3﹣a),建立方程,判断出此方程无解,即可得出不存在满足条件的a,使得△BC′D′面积为;
②利用同角的余角相等得出,∠CC'O=∠ABO进而得出∠△CC'O∽△ABO,得出C'O,最后用勾股定理即可得出结论.
(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
∵直线yx+a(a>0)分别与x 轴、y 轴交于A、B 两点,∴A(2a,0),B(0,a).
∵C(0,b)、(b>a),∴BC=b﹣a.
∵D(2a,b﹣a),∴AD=b﹣a=BC.
∵A(2a,0),D(2a,b﹣a),∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)①不存在满足条件的a,使得△BC'D'的面积为,理由如下:
如图1,连接BD,BD',过点D作DE⊥y轴于E,∴DE=OA=2a.
∵点C、D关于直线AB的对称点分别为C′、D′,∴S平行四边形ABC'D'=S平行四边形ABCD.
∵DB,BD'分别是平行四边形ABCD,ABC'D的对角线,∴S△BC'D'=S△BCDBCDE(b﹣a)2a=a(b﹣a).
∵b=3,∴S△BC'D'=a(3﹣a),假设存在存在满足条件的a,使得△BC′D′面积为,∴a(3﹣a),∴2a2﹣6a+5=/span>0,而△=36﹣4×2×5=﹣4<0,∴此方程无解,假设错误,∴不存在满足条件的a,使得△BC'D'的面积为;
②如图2,连接CC',则直线AB垂直平分线CC',∴∠CC'O+∠C'AB=90°.
∵∠C'AB+∠ABO=90°,∴∠CC'O=∠ABO.
∵∠COC'=∠AOB=90°,∴△CC'O∽△ABO,∴,∴,∴C'O,由轴对称的性质得:BC'=BC=b﹣a.在Rt△BC'O中,OB2+C'O2=C'B2,∴a2+()2=(b﹣a)2,∴3b2﹣8ab=b(3b﹣8a)=0.
∵b>a>0,∴3b﹣8a=0,∴,∴a 与b的函数表达式ab(b>0).
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【题目】已知二次函数与x轴最多有一个交点,现有以下三个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程无实数根;③≥0.其中,正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于点A(﹣1,m),点B(n,﹣1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当y1>y时,直接写出x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】某水果店销售某品牌苹果,该苹果每箱的进价是40元,若每箱售价60元,每星期可卖180箱.为了促销,该水果店决定降价销售.市场调查反映:若售价每降价1元,每星期可多卖10箱.设该苹果每箱售价x元(40≤x≤60),每星期的销售量为y箱.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润达到3570元?
(3)当每箱售价为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元?
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,点P、Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=90°,CQ=1,则线段BP的长为_____.
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【题目】点I为△ABC的内心,连AI交△ABC的外接圆于点D,若AI=2CD,点E为弦AC的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,则IE的长为_____.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=DC,连结EF并延长交BC的延长线于点G,连结BE.
(1)求证:△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
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【题目】元旦期间,某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
(1)求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元?
(2)在(1)的情况下,超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克,若将这两种苹果的售价各提高1元,则超市每天这两种苹果均少售出10千克,超市决定把这两种苹果的售价提高x元,在不考虑其他因素的条件下,使超市销售这两种苹果共获利960元,求x的值.
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x经过点P(﹣2,a),点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y=(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当y<4时x的取值范围.
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