【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90,sinC=,AC=8,BD平分∠ABC交边AC于点D.
求(1)边AB的长;
(2)tan∠ABD的值.
【答案】(1)AB=6;(2)tan∠ABD=.
【解析】
(1)先解Rt△ABC,得出sinC=,设出AB=3k,则BC=5k,由BC2-AB2=AC2,得出方程(5k)2-(3k)2=82,解方程求出k的值,进而得到AB;
(2)过D点作DE⊥BC于E,设AD=x,则CD=8-x.根据角平分线的性质得出DE=AD=x,利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA,得到BE=BA=6,那么CE=BC-BE=4.然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2=CD2,即x2+42=(8-x)2,解方程求出x的值,即为AD的长,再根据正切函数的定义即可求解.
(1)∵在Rt△ABC中,∠CAB=90°,
∴sinC=,BC2-AB2=AC2,
∴可设AB=3k,则BC=5k,
∵AC=8,
∴(5k)2-(3k)2=82,
∴k=2(负值舍去),
∴AB=3×2=6;
(2)过D点作DE⊥BC于E,设AD=x,则CD=8-x.
∵BD平分∠CBA交AC边于点D,∠CAB=90°,
∴DE=AD=x.
在Rt△BDE与Rt△BDA中,
,
∴Rt△BDE≌Rt△BDA(HL),
∴BE=BA=6,
∴CE=BC-BE=5×2-6=4.
在Rt△CDE中,∵∠CED=90°,
∴DE2+CE2=CD2,
∴x2+42=(8-x)2,
解得x=3,
∴AD=3,
∴tan∠DBA===.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点E,点E是BD的中点,延长CD到点F,使DF=CD,连接AF,
(1)求证:AE=CE;
(2)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(3)若AB=2,AF=4,∠F=30°,则四边形ABCF的面积为 .
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【题目】已知在平面直角坐标系中有三点A(﹣2,1),B(3,1),C(2,3),请解答下列问题:
(1)在坐标系内描出A,B,C的位置;
(2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1,并写出顶点A1,B1,C1的坐标;
(3)写出∠C的度数.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=2AC,半径为2的⊙C,分别交AC、BC于点D、E,得到.
(1)求证:AB为⊙C的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,Rt△ABC的顶点均在格点上,在建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(-6,1),点B的坐标为(-3,1),点C的坐标为(-3,3).
(1)将原来的Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1,试在图上画出Rt△A1B1C1的图形.
(2)求线段BC扫过的面积.
(3)求点A旋转到A1路径长.
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【题目】小明家、食堂,图书馆在同一条直线上,小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如图反映了这个过程中,小明离家的距离y(km)与时间x(min)之间的对应关系,根据图象,下列说法正确的是( )
A.小明吃早餐用了25min
B.食堂到图书馆的距离为0.6km
C.小明读报用了30min
D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
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【题目】四边形是正方形,是直线上任意一点,于点,于点.当点G在BC边上时(如图1),易证DF-BE=EF.
(1)当点在延长线上时,在图2中补全图形,写出、、的数量关系,并证明;
(2)当点在延长线上时,在图3中补全图形,写出、、的数量关系,不用证明.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…,组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2019秒时,点P的坐标是( )
A. B. C. D.
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