Question

【题目】如图所示：抛物线交坐标轴于、、三点，是抛物线的顶点，在对称轴上，在坐标轴上．以下结论：

①存在点，使是等腰直角三角形；②的最小值是；③的最大值是；④若与相似，则的坐标恰有两个．

其中正确的是________（只填序号）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先根据抛物线的解析式确定点的坐标为，点坐标为，点坐标为，对称轴为直线，点坐标为；由于为等腰直角三角形，易得，则，可得到点坐标为；由于点与点关于直线对称，根据两点之间线段最短得到当点在的位置时，有最小值，最小值为的长，运用勾股定理可计算；由于三角形任意两边之差小于第三边，则当点在的位置时，有最大值，最大值为的长，再根据勾股定理可计算出；根据勾股定理的逆定理可得到，若与相似，则为直角三角形，当时，根据，可得到，则满足条件；当时，由于，可得到满足条件；当时，由于得到，则有满足条件.

令，则，解得，，令，，

点的坐标为，点坐标为，点坐标为，

，

抛物线的对称轴为直线，点坐标为，

（1）设点坐标为，作直线，直线与轴交于点，如图，

当为等腰直角三角形，则，

，

点坐标为，所以①正确；

（2）点与点关于直线对称，与直线的交点为，

当点在的位置时，有最小值，最小值为的长，即，所以②正确；

（3）延长交直线于，

当点在的位置时，有最大值，最大值为的长，即，所以③正确；

（3） ，，，

，

，

点点在原点，即的位置时，，

，

满足条件，

当时，

，，

，

满足条件；

当时，

，，

，

满足条件，所以④错误.

故答案为：①②③.