Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆，⊙O与斜边AC交于D，过D作DH⊥AB于H，又过D作直线DE交BC于点E，使∠HDE=2∠A．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：OE是Rt△ABC的中位线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

则∠HOD=2∠A，

已知∠HDE=2∠A，

则∠HOD=∠HDE，

∵HD⊥AB，

∴∠HOD+∠HDO=90°，

∴∠HDE+∠HDO=90°，

即OD⊥DE，

又OD是半径，

∴DE是⊙O的切线

（2）证明：∵DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，

∴∠OBE=∠ODE=90°，

又OB=OD，OE=OE，

∴Rt△BOE≌Rt△DOE，

∴∠BOE=∠DOE，

∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，

又∠HOD=2∠A，

∴∠BOE=∠A，

∴OE∥AD，

而O是AB的中点，

故OE是Rt△ABC的中位线．

【解析】（1）连接OD，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，得到∠HOD=2∠A，然后用等量代换得到∠ODE=90°，证明DE是⊙ O的切线．
（2）利用（1）的结论有∠ODE=90°，又已知∠OBE=90°，证明△BOE≌△DOE，得到∠BOE=∠A，所以OE∥AD，得到点E是BC的中点，可以证明OE是△ABC的中位线．

【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形中位线定理的相关知识，掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，以及对圆周角定理的理解，了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．