Question

20．如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，BD⊥CD，垂足位点D，BC平分∠DBA．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径长为5，BC=8，求：CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠2=∠3，证出OC∥BD，再由BD⊥CD，得出OC⊥CD，即可得出结论；
（2）连接AC，由圆周角定理得出∠BCA=90°，由勾股定理求出AC，证明△ABC∽△CBD，得出对应边成比例$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，即可求出CD的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵BC平分∠DBA，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，如图2所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，AB=2×5=10，
∴∠BCA=∠BDC=90°，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$，
∴CD=4.8．

点评 本题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．