Question

14．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；
（2）如图②，若AB=1，BC=2，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE²+BE²=AE²，试求∠DEB的度数．

Answer 1

分析 （1）欲证明CD=AE，只要证明△ABE≌△DBC即可．
（2）如图②中，取BE中点F，连接DF，首先证明△BDE是直角三角形，再利用勾股定理即可．
（3）如图③中，连接DC，先利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得∠DEC=90°即可解决问题．

解答 （1）证明：如图①中，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．

（2）解：如图②中，取BE中点F，连接DF．
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°
∴∠EDB=180°-DEB∠DBE-∠DEB=90°，
∴DE=$\sqrt{B{E}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

（3）解：如图③中，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC．
∵DE²+BE²=AE²，BE=CE，
∴DE²+CE²=CD²，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC-∠BEC=30°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型．