Question

2．如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=90°，∠EAD=90°，BE的延长线交AC于G，交CD于F．
（1）求证：BF⊥CD；
（2）若AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，求证：EG=$\sqrt{2}$FG．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的性质和判定，以及直角三角形的判断方法，从而得到∠BFC=90°，即得出结论．
（2）利用角平分线的定义和垂直平分线的性质和判断方法，得出∠ABE=∠ACD=22.5°，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，从而得出∠DGF=45°，最后利用等腰直角三角形的特点得出DG=$\sqrt{2}$FG．

解答 证明：（1）∵∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°
∠DAC+∠CAE=∠DAE=90°
∵∠BAE=∠DAC（同角的余角相等）
∵AB=AC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠ACD+∠AGB=90°
∵∠AGB=∠CGF（对顶角相等），
∴∠ACD+∠CGF=90°，
∴BF⊥CD   

（2）连接DG
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠BAE=∠DAC，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD=AE，
∴AG垂直平分DE，
∴EG=DG（垂直平分线上的点到两端的距离相等）
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠ACD=22.5°
∵AB⊥AC，DE⊥AC，
∴AB∥DE，
∴∠ABE=∠DEF=22.5°
∵EG=DG，
∴∠DEF=∠EDG=22.5°，
∴∠FDG=90°-∠ACD-∠EDG=90°-22.5°-22.5°=45°，
∵∠FGD=∠EDG+DEG=22.5°+22.5°=45°，
∴∠FDG=∠FGD=45°，
∵∠DFG=90°，
∴DG=$\sqrt{2}$FG，
∴EG=DG=$\sqrt{2}$FG．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，证明垂直的方法，三角形的角平分线的性质以及垂直平分线的性质和判断方法．