Question

11．有一条长40m的篱笆，现借用一堵墙（笔直的、充分长）将篱笆围成一个四边形鸡场．
（1）张大爷将鸡场围成一个长方形（如图），请你帮他计算一下，当长方形的长和宽分别为多少时，围成鸡场的面积最大？最大面积是多少？
（2）请你设计一种更好的办法，使围成的四边形鸡场面积更大，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设长方形鸡场的宽AB=xm，则长BC=（40-2x）m，鸡场的面积为ym²，根据长乘以宽等于面积列出函数关系式，配方可得最值情况；
（2）可充分利用篱笆后面的一堵墙来扩展四边形的面积作为切入点．

解答 解：（1）设长方形鸡场的宽AB=xm，则长BC=（40-2x）m，鸡场的面积为ym²，
根据题意，得：y=x（40-2x）=-2x²+40x=-2（x-10）²+200，
故当x=10时，y取得最大值200，
答：当长方形的长为20m，宽为10米时，养鸡场的面积最大，最大面积为200m²；
（2）如果将图1中的点A、D分别向外移动．

那么ABCD仍然是四边形，而将四边形沿墙反射过来，这样就得到一个新的封闭六边形BCDC′B′A，它的周长等于原篱笆长度的两倍．
所以当六边形BCDC′B′A为正六边形，
即AB=BC=CD，且∠BAD=∠CDA=60°，∠ABC=∠DCB=120°时，六边形BCDC′B′A的面积最大．
因而其一半即四边形ABCD的面积也最大．由于周长相等，
因此图中正六边形BCDC′B′A的面积大于（1）中长方形面积，
所以图中四边形ABCD的面积大于（1）中四边形ABCD的面积．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据相等关系列函数关系式并求最大值是解题的根本，利用墙的长度来扩展四边形的面积是解题的关键．