Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，点在第二象限的抛物线上，连接，线段交线段于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若的面积为，的面积为当时，求点的坐标；

（3）已知点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，点在轴上，当时，

①求满足条件的所有点的坐标；

②当点在线段上时，点是线段外一点，，连接，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接，直接写出线段的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①或；②

【解析】

（1）将点A、B坐标代入解析式解答即可；

（2）先求出点C的坐标为（0,3），过点C作CG⊥OP于G，根据， ，得到，过点P作PF⊥x轴于F，过点E作EN⊥PF于N，得到，设点P的坐标为（a，），求出直线BC的解析式为y=x+3，得到E（，+3），根据2PF=5PN得到5(--3)=2()，求出x值即可得到点P的坐标；

（3）①先求出抛物线的对称轴是直线x=-1，得到N（-2,3），求出直线BN的解析式为y=3x+9，分两种情况：当点H在OB之间时，由，得到BN∥CH，得到直线CH的解析式为y=3x+3，即可求出点H的坐标为（-1,0）；当点H在点B左侧时，CH交BN于M，作直线OM，由得到BM=MC，故OM是BC的垂直平分线，求出交点M的坐标为（-，），再求出直线CM的解析式为y=x+3，即可得到点H的坐标为（-9,0）；②如图1，当点Q在x轴下方且MH⊥x轴时，MH最小，作QG⊥x轴，过点M作MF⊥QG于F，则四边形MHGF是矩形，证明△BQG≌△QMF，得到FM=GQ，BG=FQ，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=FG=BG-FG=；如图2，当点Q在x轴上方，且MH⊥x轴时，MH最大，过点Q作QG⊥x轴，QF⊥MH于F，则四边形HGQF是矩形，同理：△BGQ≌△MFQ，得到QG=FQ=HG，BG=MF，利用勾股定理求出GQ=GH=，得到MH=BG+FH= ，即可得到MH的取值范围.

（1）将点A、B的坐标代入中，得

，解得，

∴抛物线的表达式为；

（2）当x=0时，y=3，∴点C的坐标为（0,3），

过点C作CG⊥OP于G，

∵， ，，

∴，

∴，

过点P作PF⊥x轴于F，过点E作EN⊥PF于N，

∴EN∥OF，

∴,

设点P的坐标为（a，），

∴OF=-a，EN=-，

∴点E的横坐标为，

∵B（3,0），C（0,3），

∴直线BC的解析式为y=x+3，

当x=时，y=+3，

∴E（，+3），

∵2PF=5PN，

∴5(--3)=2(),

解得，，

∴点P的坐标为（-1,4）或（-2,3）；

（3）①∵，

∴抛物线的对称轴是直线x=-1，

∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，C（0,3），

∴N（-2,3），

设直线BN的解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线BN的解析式为y=3x+9，

当点H在OB之间时，如图，

∵，

∴BN∥CH，

设直线CH的解析式为y=3x+m，将点C的坐标代入，得m=3,

∴直线CH的解析式为y=3x+3，

当y=0时，得x=-1，

∴点H的坐标为（-1,0）；

当点H在点B左侧时，如图，CH交BN于M，作直线OM，

∵，

∴BM=MC，

∵OB=OC，

∴OM是BC的垂直平分线，

∴直线OM的解析式为y=-x，

解方程组，得，

∴点M的坐标为（-，），

设直线CM的解析式为y=cx+n，

∴，∴，

∴直线CM的解析式为y=x+3，

当y=0时x=-9，∴点H的坐标为（-9,0），

综上，当时，点H的坐标为（-1,0）或（-9，0）；

②如图1，当点Q在x轴下方且MH⊥x轴时，MH最小，作QG⊥x轴，过点M作MF⊥QG于F，则四边形MHGF是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠FQM=∠FMQ+∠FQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵∠BGQ=∠F，BQ=MQ，

∴△BQG≌△QMF，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴ MH=FG=BG-FG=；

如图2，当点Q在x轴上方，且MH⊥x轴时，MH最大，过点Q作QG⊥x轴，QF⊥MH于F，则四边形HGQF是矩形，

∴FQ=HG，FH=QG，

同理：△BGQ≌△MFQ，

∴QG=FQ=HG，BG=MF，

∵QH=1，

∴GQ=GH=，

∴MH=BG+FH= ，

∴MH的取值范围是.