Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=Rt∠，且tan∠C=

3

5

，AC上有一点D，满足AD：DC=1：2，则tan∠ABD的值是

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：作DH⊥BC于H，在Rt△ABC中，由tanC=

AB

CB

=

3

5

，可设AB=3x，CB=5x，再证明△CDH∽△CAB，得到

DH

AB

=

CH

CB

=

CD

CA

，由AD：DC=1：2得

CD

CA

=

2

3

，所以

DH

3x

=

CH

5x

=

2

3

，解得DH=2x，CH=

10x

3

，则BH=CB-CH=

5

3

x，然后在Rt△BDH中，根据正切的定义得tan∠BDH=

BH

DH

=

5

6

，由于DH∥AB，则∠ABD=∠BDH，即有tan∠ABD=

5

6

．

解答：解：作DH⊥BC于H，如图，
在Rt△ABC中，tanC=

AB

CB

=

3

5

，设AB=3x，CB=5x，
∵DH⊥BC，
∴DH∥AB，
∴△CDH∽△CAB，∠ABD=∠BDH，
∴

DH

AB

=

CH

CB

=

CD

CA

，
而AD：DC=1：2，
∴得

CD

CA

=

2

3

，
∴

DH

3x

=

CH

5x

=

2

3

，
解得DH=2x，CH=

10x

3

，
∴BH=CB-CH=5x-

10x

3

=

5

3

x，
在Rt△BDH中，tan∠BDH=

BH

DH

=

5 3 x

2x

=

5

6

，
∴tan∠ABD=

5

6

．
故答案为

5

6

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形相似的判定与性质．