Question

4．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠CAB的平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PA}{PC}$；
（2）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到△PAB∽△PCA，于是得到结论；
（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，根据已知条件推出△ACE∽△ADB，列比例式即可得到结果．

解答 解：（1）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，
∵∠P=∠P，
∴△ABP∽△PAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PA}{PC}$；

（2）连接AO，CE．
∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∵PA=10，PB=5，
∴PC=$\frac{P{A}^{2}}{PB}$=$\frac{1{0}^{2}}{5}$，
∴PC=20，
∴BC=15，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=225，
由（1）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴AC=6$\sqrt{5}$，AB=3$\sqrt{5}$，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=3$\sqrt{5}$×$6\sqrt{5}$=90．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．